2020年8月16日。
下午一点了，睡一会儿开始学习。
……
两三点开始。
【例1】①∫1/(x²-x-2)dx；②∫1/(x²+2x+2)dx.
解：①原式=∫1/[(x+1)(x-2)]
=1/3∫1/(x-2)-1/(x+1)dx
=1/31/(x-2)d(x-2)-1/3∫1/(x+1)d(x+1)
=1/3ln|x-2|-1/3ln|x+1|+C
=1/3ln|(x-2)/(x+1)|+C
②原式=∫1/[1+(x+1)²]d(x+1)
=arctan(x+1)+C
【例2】∫x/(x²+3)dx.
解：原式=1/2∫1/(x²+3)d(x²+3)
=1/2ln(x²+3)+C
【例3】∫sinx^½/x^½dx
解：∵(x^½)'=1/(2x^½)
∴原式=2∫sinx^½/(2x^½)dx
=2∫sinx^½dx^½
=-2cosx^½+C
【完善一部分公式】【公式积累】
【不定积分公式】
【已知的】：
1.【常数不定积分】∫kdx=kx+C；
2.【幂函数不定积分】
①a≠-1时，∫x^adx=[1/(a+1)]a^(a+1)+C；
②a=-1时，∫1/xdx=ln|x|+C
3.【指数函数不定积分】
①∫a^xdx=a^x/lna+C
②a=e时，∫e^xdx=e^x+C
4.【对数函数】……对数没有
5.【三角函数不定积分】【部分】
①∫sinxdx=-cosx+C
②∫cosxdx=sinx+C
③∫tanxdx=-ln|cosx|+C
④∫cotxdx=ln|sinx|+C
⑤∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C=ln|cscx-cotx|+C
⑥∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
⑦∫sec²xdx=tanx+C
⑧∫csc²xdx=-cotx+C
⑨∫secxtanxdx=secx+C
⑩∫cscxcotxdx=-cscx+C
【例4】∫cscxdx.
解：原式=∫[1/sinx]dx
=∫[1/2sin(x/2)cos(x/2)]dx
=∫[1/tan(x/2)cos²(x/2)]d(x/2)
=∫[sec²(x/2)/tan(x/2)]d(x/2)
令t=x/2，
=∫[sec²t/tant]dt
=∫[1/tant]d(tant)
=ln|tant|+C
=ln|tan(x/2)|+C
∵tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)
=2sin²(x/2)/2sin(x/2)cos(x/2)
=(1-cosx)/sinx
=cscx-cotx
∴∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C=ln|cscx-cotx|+C
【例5】∫secxdx.
解：原式=∫1/cosxdx
=∫1/sin(x+π/2)d(x+π/2)
=∫csc(x+π/2)d(x+π/2)
=ln|csc(x+π/2)-cot(x+π/2)|+C
=ln|secx+tanx|+C
现在三角函数解决。然后来适当解决部分接下来的基本初等函数的不定积分。
5.平方和、平方差公式
①∫1/(1-x²)^½dx=arcsinx+C
②∫1/(a²-x²)^½dx=arcsin(x/a)+C，（a＞0）
③∫1/(1+x²)dx=arctanx+C
④∫1/(a²+x²)dx=(1/a)arctan(x/a)+C
……
⑤∫1/(x²-a²)dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C
⑥⑦⑧？
……
现在来看真正的例题。
【例6】∫(1-1/x²)e^(x+1/x)dx.
解：原式=∫e^(x+1/x)d(x+1/x)
=e^(x+1/x)+C.
【例7】∫{1/[x^½（4+x）]}dx
本子
【例8】①②本
【例9】本
【所以换元积分法的思想就是找一部分放到d后面，就是找到一部分的原函数，然后前后都有这一部分，然后就可以换元进行再找原函数，再把元换回来。当然熟练的话就可以不换元直接看出来。】
下面看第二类换元积分法。
……
害天气好闷热。有点受不了。
没看视频了，在整理数学文档。教材、辅导讲义、习题、解析、真题。今天不想看了，4.2.2、4.3、4.4三个视频给明天吧，然后明天结束第四章，然后第五章开个头。
……
马达我还是忍不住开了云盘的svip，开会员后下的是真的正常了好多。原来它能做到啊。艹。
……
晚餐藕片、白菜、西红柿炒鸡蛋、冬瓜。
……
2020年8月17日。有雨。
午餐是黄鱼汤、白菜、土豆五花肉。
……
主要想下文档和视频。然后下午晴空霹雳，雷鸣不止。然后也有雨了。我到前面的房间坐着，看窗外门前的树🌲随风摇曳。
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